（3）】=f（1）+f（5）+f（7）+f（11）+…
    A【1f（2）】【1f（3）】【1f（5）】=f（1）+f（7）+f（11）+f（13）+…
    AΠp【1f（p）】=f（1）=1
    Σnns =Πp（1ps）1
    （PS：感谢书友幻鱼、山在海外、sgsnk、仙门剑诀、鬼在画符、木的自由源、不存在的理想人生等各位同学的推荐，感谢山在海外同学的打赏。
    另外，为什么明明已经是更新了30天3000字，这传说中的成就却迟迟不见出现呢？作者表示一头黑人问号，莫不是被系统吞了？
    最后的最后，继续求各位同学的收藏和推荐：））
    第0081章 黎曼猜想
    欧拉乘积公式的推导过程，大学课本里还是有的，但又有多少人会自己推导一遍呢？
    将公式直接拿来用就完事了！
    经过田立心连比带画地将这个公式推导了一遍，许多人都豁然开朗了。
    但还有不少人根本就不知道，这个公式的意义在哪？
    欧拉乘积公式的意义在于，对全体质数的某些运算可以转移成对全体自然数的运算。这么一来，通过研究对自然数的求和Σnns，就有可能对质数获得更深刻的认识。
    这个求和是非常重要的，所以它有一个专门的名称，——黎曼ζ函数。
    这个函数明明是欧拉先提出来的，为什么会叫黎曼ζ函数呢？
    田立心并没有立即给出答案，而是提出新的问题，“我们来到第二个部分，我来先问几个问题，两个自然数互质的概率是多少？什么是互质？n个自然数互质有没有通项公式呢？”
    “自然数互质，意思就是它们没有共同的质因数，它们的最大公约数是1。例如2和3互质，2和15互质，但15和21不互质，因为15和21都以3作为质因数。由此得知，任意两个不同的质数是互质的，一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的，1和任意自然数都是互质的。”田立心解释了互质的概念后，便利用欧拉乘积公式写下了两个自然数互质的数学表示方法，并一步步计算了下去。
    计算的结果显示，得到n个自然数互质的概率正好等于所有自然数的倒数之和，这个数也称为调和级数——也就是1/ζ（s）。
    特别说明，这个函数中的s是大于1的。
    也就是说，随着s趋于无穷大，ζ（s）=Σnns当中只有第一项1不受影响，后面的项都迅速地趋近于0，所以ζ（s）会趋近于1。相应的，s个自然数互质的概率会趋近于100%。
    要是s=1呢？
    ζ（1）会等于无穷大！
    也就是说，调和级数是发散的！
    但在这个推导过程中，是包含一个前提的，——就是ζ（s）是一个有限值，或者说ζ（s）是收敛的。
    只有在这个前提之下，才能将它当成一个正常的数进行各种操作，例如乘以1 f（2），消去所有包含2n的项。
    假如ζ（s）是发散的，这样的操作就是毫无意义的，这会带来各种各样的错误结果。
    被人调侃的全体自然数之和等于1/12，便是这样计算出来的错误之一。
    那么，全体自然数之和等于1/12，又是怎么被人证明出来的呢？
    这就要说到黎曼了。
    黎曼是德国著名的数学家，数学王子高斯的弟子。
    黎曼在二十八岁时发表了题为《论作为几何学基础的假设》的演说，就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体，后来，爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具，才创立了新的引力理论——广义相对论。
    全体自然数之和等于1/12，就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。
    正是在这个错误的结果的启迪之下，黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。
    一，应该把ζ（s）中的自变量s理解为复数，而不只是实数。
    二，可以通过解析延拓，让ζ（s）在s小于1的地方也获得定义。
    三，通过对ζ（s）的研究，可以对小于等于某个数的质数的个数，给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ（s）的零点的位置。
    四，黎曼猜测ζ（s）的零点都位于某些地方。
    由此可见，黎曼在欧拉ζ函数上的研究上，显然是比欧拉更进一步的。
    他在加入解析延拓之后，使得ζ（s）在s小于1的地方获得定义。
    由此，欧拉ζ函数也就升级成了黎曼ζ函数。
    解析延拓又是什么呢？
    解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得该函数在一些原本没有定义